Funções do 2° Grau

Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos:

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.

A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.

As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.

? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.

Funções do 1° Grau

O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc.
O significado de função é intrínseco à matemática, permanecendo o mesmo para qualquer tipo de função, seja ela do 1° ou do 2° grau, ou uma função exponencial ou logarítmica. Portanto, a função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.

Sendo assim, a função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.

Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1
x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.
Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

Funções

A importância do estudo de função não é restrita apenas aos interesses da matemática, mas colocado em prática em outras ciências, como a física e a química.
Na matemática, o estudo de função é dividido basicamente em:

• Características, tipos e elementos de uma função.
• Função do primeiro grau.
• Função do segundo grau.

Nem sempre percebemos, mas estamos em contato com as funções no nosso dia a dia, por exemplo:

Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente.
Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, comparação, seja representada em uma função na forma algébrica.

Para dar início ao estudo de função é necessário o conhecimento de equações, pois todo o desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações.

Determinante de uma matriz quadrada

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:

A=	a11	a12
	a21	a22

definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:

det(A) = a₁₁ a₂₂ - a₂₁ a₁₂

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:

A=	a11	a12	a13
	a21	a22	a23
	a31	a32	a33

Definimos o determinante de A, como:

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₃₂a₁₃ + a₃₁a₁₂a₂₃

               - a₁₁a₃₂a₂₃ - a₂₁a₁₂a₃₃ - a₃₁a₂₂a₁₃

Regra prática de Sarrus

Dada a matriz A de ordem 3:

A=	a11	a12	a13
	a21	a22	a23
	a31	a32	a33

Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.

a11	a12	a13	a11	a12
a21	a22	a23	a21	a22
a31	a32	a33	a31	a32

Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais quedescem devem ter o sinal positivo.

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

Produto cor amarela +a11a22a33 Produto cor verde +a12a23a31 Produto cor azul +a13a21a32

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais quesobem devem ter o sinal negativo.

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

Produto cor rosa -a11a22a33 Produto cor bege -a12a23a31 Produto cor khaki -a13a21a32

O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₃₂a₁₃ + a₃₁a₁₂a₂₃ - a₁₁a₃₂a₂₃ - a₂₁a₁₂a₃₃ - a₃₁a₂₂a₁₃

Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.

Multiplicação de Matrizes

A multiplicação de matrizes é realizada de acordo com a seguinte condição: o número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz.


      
         EX:
                      
                       


         EX 2:

           
                      
                      

Adição e Subtração de Matrizes

Adição de matrizes: duas matrizes A = (aij) m x n e B = (bij) m x n, a soma delas, representada por A+B, é a matriz C = (ij) m x n a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e B.

     EX:
                                          

     SOLUÇÃO: 

Da mesma forma que a soma a subtração é a diferença entre os elementos correspondentes de duas matrizes.

         EX:
             
                             -     =